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【深度学习】吴恩达课程笔记(一)——深度学习概论、神经网络基础

四、浅层神经网络

1.双层神经网络表示

x₁ ,x₂ ,x₃：输入层A[0]，指的是单个样本的输入值

中间四个神经元：隐藏层A^[1]

右侧的单个神经元：输出层A^[2]

单次训练过程：

• 正向传播

  • 训练样本分别对隐藏层的各神经元的参数（w向量和b值）进行计算得到z^[1]
  • 各神经元的z放到一起组成Z^[1]
  • z^[1]激活后得到a
  • 各神经元的a放到一起组成A^[1]
  
  $$z^{[1]}_{1}=w^{[1]T}_{1}x+b^{[1]}_{1},a^{[1]}_{1}=σ(z^{[1]}_{1})\\ z^{[1]}_{2}=w^{[1]T}_{2}x+b^{[1]}_{2},a^{[1]}_{1}=σ(z^{[1]}_{2})\\ z^{[1]}_{3}=w^{[1]T}_{3}x+b^{[2]}_{3},a^{[1]}_{1}=σ(z^{[1]}_{3})\\ z^{[1]}_{4}=w^{[1]T}_{4}x+b^{[1]}_{4},a^{[1]}_{1}=σ(z^{[1]}_{4})\\$$

  

  • 各神经元的A^[1]再作为训练样本对对输出层的单个神经元的参数（w向量和b值）进行计算得到z^[2]
  • z^[2]激活得到a^[2]
  
  $$Z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]}\\ A^{[1]}=σ(Z^{[1]})\\ Z^{[2]}=W^{[2]}A^{[1]}+b^{[2]}\\ A^{[2]}=σ(Z^{[2]})$$

• 反向传播

  • 从输出结果到第二层到第一层依次计算对成本函数的导数，达到对各个w、b的迭代、训练效果

2.双层神经网络的前向传播

多个样本

训练样本集：X = [x⁽¹⁾,x⁽²⁾,x⁽³⁾, … ,x^(m)]，其中x⁽ⁱ⁾是第 i 个训练样本，共m个样本

n^[0]：第n层的单元数，n^[0]表示特征向量x的维度

第一层前向传播

第一层神经元的w参数集： 第一层神经元的b参数集： 第一层前向传播过程计算Z^[1] 第一层前向传播过程计算A^[1]

第二层前向传播

第二层神经元的w参数集： 第二层神经元的b参数集： 第二层前向传播过程计算Z^[2] 第二层前向传播过程计算A^[2] 核对矩阵维数

3.双层神经网络的反向传播

参数

梯度下降

反向传播公式

第二层反向传播推导

4.激活函数

1. sigmoid：只可能用于二元分类的输出层。

   
   $$a=\frac{1}{1+e^{-z}}\\ \frac{da}{dz}=a(1-a)$$

   

2. tanh：几乎在所有情况下优于sigmoid函数。（计算速度更快）

   
   $$a=\frac{e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}\\ \frac{da}{dz}=1-a^2$$

   

3. ReLU(Rectified Linear Unit)：最常用的默认激活函数

   
   $$a=max(0,z)\\ \frac{da}{dz}=\left\{ \begin{aligned} 0 & , z<0 \\ 1 & , z>0 \\ undefined&,z=0 \end{aligned} \right.$$

   

4. leaky ReLU：有人认为这个比ReLU好

   
   $$a=max(\alpha z,z),\alpha \ usually \ less\ than\ 1\\ \frac{da}{dz}=\left\{ \begin{aligned} \alpha & , z<0 \\ 1 & , z>0 \\ undefined&,z=0 \end{aligned} \right.$$

5.为什么要使用非线性激活函数？

• 解决线性不可分问题：线性激活函数（如恒等映射）只能产生线性变换，无法处理非线性可分的问题。
• 增强模型的表达能力：非线性激活函数能够引入非线性变换，使得神经网络能够学习更加复杂的模式和特征。
• 防止梯度消失：在深层神经网络中，使用线性激活函数会导致梯度逐层地缩小，进而导致梯度消失的问题。
• 增加模型的非线性响应：非线性激活函数可以引入非线性响应，使得模型能够更好地适应数据的非线性特征。这对于处理图像、语音等复杂数据具有重要意义，能够提高模型的性能。

只有一种情况可能使用线性激活函数：在输出层。

6.为什么要对W随机初始化？

• 如果把W初始化为全部为0，那么第一层上的神经元训练后都将是相同的，其下一层的神经元对上一层的判断权重也是完全相同的，同时这一层的神经元也会是完全相同的。由归纳法，每一层上的神经元都是完全相同的。这样就丧失了多层神经网络的判断性能优势。
• 初始化时应该使W中的数字尽量小，以使得sigmoid或tanh计算导数时处于导数较大的区域，以保证迭代学习的速度

五、深层神经网络

1.变量定义

2.矩阵的维数

3.为什么使用深层表示（Deep Representation）

深层表示（Deep Representation）是神经网络中的一个重要概念，它指的是通过多层非线性变换来逐步提取输入数据的高级特征表示。

以下是使用深层表示的几个主要原因：

1. 特征表达能力增强：深层表示可以通过逐层的非线性变换，将原始输入数据转化为更高级别的抽象特征表示。每一层都可以学习到数据的不同抽象层次的特征，使得模型能够更好地捕捉输入数据中的结构和模式。相比于浅层模型，深层表示具有更强大的特征表达能力。
2. 特征的层次化表示：深层表示可以将输入数据的特征表示分解为多个层次，每一层都对应着不同抽象层次的特征。这种层次化的特征表示使得模型能够更好地理解数据的结构和语义，从而提高模型的泛化能力和鲁棒性。
3. 梯度传播更有效：在深层网络中，通过反向传播算法计算梯度时，梯度可以更容易地传播到较早的层。这是因为深层网络中的参数共享和权重共享的结构，使得梯度能够通过多个层级的连接路径传递。相比于浅层网络，深层网络可以更有效地利用梯度信息进行参数更新，从而提高模型的训练效率和性能。
4. 数据表示的可分离性：深层表示可以将输入数据的不同方面进行分离和表示。例如，在图像处理任务中，底层的卷积层可以学习到边缘和纹理等低级特征，而高层的全连接层可以学习到物体的形状和类别等高级特征。这种分离性使得模型能够更好地对不同方面的特征进行建模和学习。

4.深层神经网络块图解

5.深层神经网络前向和反向传播的实现

前向传播

反向传播