fft算法的原理_fft2函数作用

小小码 • 2023-08-26 18:30 • 代码笔记 • 阅读 84

怎么理解谐波分析（FFT）？本文将通过常用例子介绍傅立叶变化，以及计算过程中遇到幅值泄漏和栅栏效应，加窗函数原则和最后修复幅值、频率的基本原理，并给出其在高端测量仪器中的应用。

随着技术的发展，数据越来越多样化，不再以单一的形式存在，例如一段录音可被分解成若干种信息，而快速傅立叶变化（简称FFT）常常被应用在数据的分解上，接下来我们讲讲FFT的原理。

什么是FFT？

快速傅立叶变化简称FFT，其实FFT就是DFT（离散傅立叶变化）的一种快速算法，通过时间抽取或频率抽取算法来加快变化过程，具体的算法就不在这里拓展，我们只要了解离散傅立叶变化即可。举个简单的例子，假如手机里正在播放一首音乐，随着时间的推移，歌曲是不是按照它的音符播放呢？若以高低音作为纵轴，时间左右横轴建立直角坐标得到（图1-1），以音符作为横轴建立直角坐标得到（图1-2）。

图1 生活中FFT例子

我们称图1中图1-1为时域，图1-2称为频域，数据由时域转换为频域的过程我们称为傅立叶转换（图2），由于转换后的频域数据是不连续的，所以为离散傅立叶转换。其中转换后得到的频谱图中频率不为零且幅值最大的一般都是基波，也叫零次谐波。

图2 时域到频域

什么是频率泄漏？

谐波分析一段采集时间较长的数据，需要将数据切成一帧帧进行分析，这个过程称为信号截断。信号截断分为周期截断和非周期截断。这一点还是比较好理解，就是在数据切成一帧帧的时候，每帧数据是否为周期信号进而判断是哪种类型截断。如图3显示。

图3 信号截断

周期截断不存在谐波泄漏，这是因为信号频率成分为频率分辨率的整数倍。非周期截断如图所示，由于重新组成数据进行谐波分析幅值出现拖尾，即会造成如图3-2频谱图的现象，所以信号的非周期截断，导致频谱在整个频带内发生了拖尾现象，由于能力守恒最终导致幅值比原来的低，这就是幅值泄漏。

栅栏效应

栅栏效应指的是离散傅立叶变化过程的频谱被限制在基频整数倍处，犹如栅栏一样关注的频率主要分布在木块之间，如图4所示。

图4 栅栏效应

窗函数及类型

前面已经了解泄漏问题，我们可以通过加合适的窗函数来尽可能减少频谱拖尾的现象，那么什么是窗函数呢？简单理解就是不同的信号截断函数如图5所示，常见的窗函数有以下几种：

图5 窗函数类型

矩形窗相当为没加窗，常用于周期信号；信号随机或未知，或者多个频率分量，测试关注是频率而非能量大小，则选择汉宁窗；对校准目的，要求幅值精准，适用平顶窗；如果要求幅值频率的精度，则选择凯塞窗；检测两信号频率相近，幅值不同的，建议用布莱克曼窗。

加窗后幅值和频率修正

通过前面已经了解加窗函数可减少泄漏现象，但频率栅栏效应没得到修复，加窗后幅值泄漏现象也只得到缓解，那么可以通过插值算法来得到一个准确的幅值和频率。算法原理是各个频率成分主瓣形状将近似窗函数频谱的主瓣形状，如果这形状可以用某个函数来描述，则可利用主峰两侧的谱线通过插值计算出主峰的高度，从而克服栅栏效应。具体的推导可查看《Hanning窗在插值FFT算法中应用的研究》这一文献。