python中三重积分(python 三重积分)

python中三重积分(python 三重积分)其实,三重积分,就是把一重积分和二重积分的扩展 

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怎样计算三重积分?尽量通俗易懂。

其实,三重积分,就是把一重积分和二重积分的扩展 

三重积分及其计算 

一,三重积分的概念 

将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义 

其中 dv 称为体积元,其它术语与二重积分相同

若极限存在,则称函数可积 

若函数在闭区域上连续, 则一定可积 

由定义可知 

三重积分与二重积分有着完全相同的性质 

三重积分的物理背景 

以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 

下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法. 

二,在直角坐标系中的计算法 

如果我们用三族平面 x =常数,y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 

其体积为 

故在直角坐标系下的面积元为 

三重积分可写成 

和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算 

具体可分为先单后重和先重后单 

python中三重积分(python 三重积分)

三重积分的计算方法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域,且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

⑴先一后二法投影法,先计算竖直方向上的一竖条积分,再计算底面的积分。

①区域条件:对积分区域Ω无限制;

②函数条件:对f(x,y,z)无限制。

⑵先二后一法(截面法):先计算底面积分,再计算竖直方向上的积分。

①区域条件:积分区域Ω为平面或其它曲面(不包括圆柱面、圆锥面、球面)所围成;

②函数条件:f(x,y,)仅为一个变量的函数。 适用被积区域Ω的投影为圆时,依具体函数设定,如设x2+y2=a2,x=asinθ,y=acosθ

①区域条件:积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合;

②函数条件:f(x,y,z)为含有与x2+y2(或另两种形式)相关的项。 适用于被积区域Ω包含球的一部分。

①区域条件:积分区域为球形或球形的一部分,锥面也可以;

②函数条件:f(x,y,z)含有与x2+y2+z2相关的项。

在python中如何求定积分

在python中求定积分的方法:1、导入计算积分的sympy包;2、输入“x= symbols(“x”)”命令定义一个符号;3、定义要积分的函数为“A=integrate(函数,(变量,下限,上限))”即可求定积分。

准备python的运行环境

导入计算积分的模块包from sympy import *

定义一个符号x = symbols(“x”)

定义要积分的函数

函数的定积分为A = integrate(函数,(变量,下限,上限))

函数的不定积分B=integrate(函数,变量)

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三重积分的定义

设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…,n)并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点(ξiηiζi)作和(n/i=1 Σ(ξiηiζi)Δvi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dv,即

Ω

∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 (n/i=1 Σf(ξi,ηi,ζi)Δvi),其中dv叫做体积元素。

Ω ∫∫∫‥‥‥三重积分号

f(x,y,z)‥‥‥被积函数

f(x,y,z)dv‥‥‥被积表达式

dv‥‥‥体积元

x,y,z‥‥‥积分变量

Ω‥‥‥积分区域

Σf(ξi,ηi,ζi)Δδi‥‥‥积分和

三重积分的计算

三重积分的计算,首先要转化为“一重积分+二重积分”或“二重积分+一重积分”。

适用于被积区域Ω不含圆形的区域,且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法:

先一后二法投影法,先计算竖直方向上的一竖条积分,再计算底面的积分。

区域条件:对积分区域Ω无限制;

函数条件:对f(x,y,z)无限制。

先二后一法(截面法):先计算底面积分,再计算竖直方向上的积分。

区域条件:积分区域Ω为平面或其它曲面(不包括圆柱面、圆锥面、球面)所围成

函数条件:f(x,y)仅为一个变量的函数。

三重积分特点:

当然如果把其中的“二重积分”再转化为“累次积分”代入,则三重积分就转化为了“三次积分”,这个属于二重积分化累次积分。

与二重积分类似,三重积分仍是密度函数在整个Ω内每一个点都累积一遍,且与累积的顺序无关(按任意路径累积)。当积分函数为1时,就是其密度分布均匀且为1,三维空间质量值就等于其体积值;当积分函数不为1时,说明密度分布不均匀。

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